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潘承洞院士的生平与学术贡献

    潘承洞院士是当代著名数学家,他在解析数论研究中成就卓著,尤以对"哥德巴赫猜想"的研究成果为中外数学家所赞誉。五十年代,还在研究生学习期间,他第一个 得到了"算术级中最小素数"的上界定量估计。这一工作被国际数学大师哈斯作为一条定 理收入其名著《数论》中。六十年代,他从事"哥德巴赫猜想"的研究,首先确定出命题 (1+C)中常数C的具体数值,证明了命题(1+5)和(1+4),两次在这一著名世界难题 研究中居于国际领先地位。七十年代,他在简化陈氏定理(1+2)时提出并证明了一条 新的均值定理,该定理成为"筛法"应用中的一个重要工具,为国内外同行广泛引用。由 于以上工作,他与陈景润,王元一起共同获得了国家自然科学一等奖。八十年代以后, 他致力于"哥德巴赫猜想"的最终解决,他所提出的研究"猜想"的新途径,截然不同于经 典的"圆法",其崭新的学术思想为国际数论界所关注。与此同时,他还倾注大量心血 著书立说和培养青年人才。他和胞弟潘承彪教授合著的《哥德巴赫猜想》一书,是"猜 想"研究历史上第一部全面,系统的学术专著,被国内外数学家评价为"成功的再创造" ,"解析数论研究宝库中的又一新作"。潘承洞教授治学严谨,学风正派,奖掖后学, 忘我无私,在国内外学术界享有很高的威望。他生前担任多项重要学术和社会兼职, 为我国基础科学研究事业的发展呕心沥血,不遗余力,做出了杰出贡献。1979年他被 国务院授予全国劳动模范称号,1984年获国家首批有突出贡献的中青年专家称号,1991 年他当选为中国科学院院士,1995年荣获香港何梁何利基金会科学与技术进步奖。

     潘承洞于1934年5 月26日生于江苏省苏州市一个旧式大家庭中,他的父亲子起, 号艮斋,终亲高嘉懿,江苏省常州市人,出身贫苦家庭,不识字。他们有一女两子。 父亲的忠厚,母亲的劳动妇女的优良品德与严格管教,使子女能够健康成长,激励 他们奋发图强。

     潘承洞在1946年8月考入苏州振声中学初中,1949年毕业后考入苏州桃坞中学高中。潘承洞小时候十分爱玩,棋,牌,足球,乒乓球,台球,……样样都喜欢,玩得高兴时 就什么都忘了。因此,上小学时曾留级一年,读高中时,教他数学的是上海,苏州地区有名望的祝忠俊先生。一次,他发现《范氏大代数》一书一道有关循环排列题的解 答是错的,并作了改正,这使得教了20多年书而忽略了这一点的祝老师对他不迷信书 本,善于发现问题,进行独立思考的才能十分赞赏。潘承洞在1952年高中毕业,同年 考入北京大学数学力学系。当时,全国高校刚调整院系,许多箸名学者,如江泽涵, 段学复,戴文赛,闵嗣鹤,程民德,吴光磊等,为他们讲授基础课,以具有许多简明 ,优美的猜想为特点的数学分支--数论,在历史上一直使各个时期的数学大师着迷。 但是,这些猜想中的大多数仍是未解决的问题。它们深深的吸引了潘承洞。在闵嗣鹤 循循善诱的引导下,他选学了解析数论专门化。1956年大学毕业,留北京大学数力系 工作。翌年二月,成为闵嗣鹤的研究生。

     20世纪50年代前后是近代解析数论的一个重要发展时期,为了研究数论中的著名猜想 ,一些重要的新的解析方法,如大筛法,黎曼函数与狄利克雷L函数的零点分布,塞 尔伯格筛法等,相继提出,成为解析数论界研究的中心。闵嗣鹤教授极有远见的为潘 承洞确定了研究方向:L函数的零点分布,及其在著名数论问题中的应用。在学习期间 ,他还有幸参加了华罗庚教授在中国科学院数学研究所主持的哥德巴赫猜想讨论班, 并与陈景润,王元等一起讨论,互相学习和启发。在闵嗣鹤教授的指导下,潘承洞在大学与研究生期间完成的主要论文有:"论算术级数中的最小素数"和"堆垒素数论中的 一些新结果"。研究生毕业后,1961年3 月起在山东大学数学系任助教,同年与李淑英结婚,有一女。李淑英现为山东大学光电材料研究所高级工程师。1962年,潘承洞升任讲师。

     到山东大学后的短短几年中,他的发表的主要论文有:"表大偶数为素数与殆素数之和 ","表大偶数为素数与一个不超过四个素数的乘积之和",以及"Yu。V。Linnik大筛法 的一个新应用"。这些工作对哥德巴赫猜想与算术数列中最小素数这两个箸名问题的研 究做出了重要的贡献,受到华罗庚,闵嗣鹤及国内外同行的高度评价。1964年,他当选为山东省青年联合会副主席。

     1966年开始的"文化大革命",严重的搅乱了科学研究,尤其是基础理论研究的正常秩序。潘承洞无法再进行他的研究工作。1973年,陈景润关于哥德巴赫猜想的著名论文 发表后,潘承洞又开始了解析数学论研究。这一时期工作的代表性论文是"一个新的均 值定理及其应用"。他的主要贡献是提出并证明了一类新的素数分布的均值定理,给出了这一定理对包括哥德巴赫猜想在内的许多著名数论问题的重要应用。1979年7月,在 英国达勒姆举行的国际解析数论会议上,潘承洞应邀以此作了一小时的报告,受到华 罗庚和与会者的高度评价。1982年,潘承洞发表了论文"研究Goldbach猜想的一个新尝 试",提出了与已有研究截然不同的方法,对哥德巴赫猜想作了有益的探索。 1988--1990年间,他与潘承彪以"小区间上的素变数三角和估计"为题发表了三篇论文 ,提出了用纯分析方法估计小区间上的素变数三角和,第一次严格地证明了小区间上的三素数定理,这是他对论文"堆垒素数论的一些新结果"的进一步完善和改进。

    1981年出版了潘承洞与潘承彪合著的《哥德巴赫猜想》,对猜想的研究历史,主要研 究方法及研究成果作了系统的介绍与有价值的总结,得到了国内外数学界的一致好评 。他们还合箸了《素数定理的初等证明》(1988),《解析数论基础》(1991),《 初等代数数论》(1991)及《初等数论》(1992)。潘承洞与于秀源合箸了《阶的估 计》(1983)。潘承洞还写了科普读物《素数分布与哥德巴赫猜想》(1979)。这些 箸作对我国数论的研究,教学和人才培养起了很好的作用。

     自1978年以来,潘承洞已经指导培养了10多名博士研究生和近20名硕士研究生,其中包括我国首批博士学位获得者之一于秀源。他培养的研究生工作在全国各地,已成为 我国数论界的重要新生力量。从80年代中期开始,潘承洞和同事们在山东大学开始建 立数论应用的研究队伍,并培养这方面的学生。

     1978年5 月,潘承洞晋升为教授,1981年加入中国共产党员,1979年10月到1984年6月 ,任山东大学数学系主任。1984年7月起,任山东大学数学研究所所长。1984年7月至 1986年12 月,任山东大学副校长。1986年底,被任命为山东大学校长。1991年,潘承 洞当选为中国科学院学部委员。潘承洞还担任了一些社会工作,生前任山东省科协主 席,中国数学会副理事长,山东省自然科学基金委员会副主任,国务院学位委员会数 学学科评议组成员,《数学年刊》常务编委,他还参加了国家自然科学基金委员会数 学学科评审的领导工作。

    潘承洞是第五,六,七,八届全国人大代表。1978年潘承洞获全国科学大奖并获全国科技先进工作者称号;1979年被授予全国劳动模范称号;1982年,因对哥德巴赫猜想 研究中的突出贡献,与陈景润,王元一起获国家自然科学奖一等奖;1984年,被评为 我国首批有突出贡献的中青年专家;1988年获山东省 首批专业技术拨头人才荣誉称号。

     潘承洞在解析数论研究中所取得的成就主要有以下几个方面。

    1 算术数列中的最小素数

     设a与q是两个互素的正整数,q〉2,a〈q。以P(q,a)表示算术数列a+kq(k=0,1,2,…) 中的最小素数。一个箸名的问题是要证明

P(q,a)《qlog2q

1944年,YU。V。林尼克(Linnik)首先证明存在正常数 ,使

P(q,a)《qλ.


这只是一个定性结果,且证明很复杂与冗长。1954年,K.A.罗托斯基(Rodoskii) 才给了一个较简单的证明,P.吐朗(Turan)在他的书末提及罗托斯基的方法并末给出λ的数值的任何消息,并指出如果改用他自已的方法。很可能定出λ来,但始终未见有文章发表。1957年,潘承洞在他的两篇论文中,通过对L函数性质的深入研究, 本质上改进了林尼克的证明,明确指出λ主要依赖于和L 函数有关的三个常数,具体给出了计算λ的方法。他先后得到了

λ<10000与λ<5448

林尼亲自为他的文章写了长篇评论。此后所有改 进常数λ数值的工作都是在潘承洞所建立的这一框架下得到的。30多年来的主要改进:

λ≤770,550,68,80,20,11.5,8,5.5.

它们分别是由陈景润,M.尤梯拉(Jutila),陈景润,M.尤梯拉,S.格拉汉姆( Graham),陈景润与刘健民,王炜,D.R.黑斯-布朗(Heath-Brown)得到的。

     2 哥德巴赫猜想,大筛法,以及素数分布的均值定理

    为了研究著名的哥德巴赫猜想一每一个大于2的偶数一定是两素数之和,人们提出先研究这样一个较简单的命题:存在一个正整数r,使得每一个充分大的偶数一定 是一个素数与一个不超过r个素数的乘积的和,这一命题简记为{1,r}。这样,哥德巴赫猜想基本上就是命题{1,1}。在哥德巴赫猜想提出200多年后,A.兰恩易(Renyi) 通过对林尼克的大筛法的重大改进,结合V.布伦(Brun)筛法,证明了命题{1,r}. 这是一个重大的开创性工作。但是由于证明方法上的缺点,他的结果是定性的,即不能定出r的有效值。兰恩易证明的关键实质上隐含地就是要证明如下的素数分布均值定理:存在正数η,使得对任意的正数B及有

其中与"O"有关的常数依赖于ε与B,ψ(d) 是欧拉函数,π(x;1,1)表示满足条件

p≤x,p≡l(mod d)

的素数p 的个数,并且π(x)=π(x;1,1) 。兰恩易把(1)式左边转换为估计一个对L函数零点求和的三重和式。这种和式的估计是很困难的。他通过对大筛法的改进,进一步 改进L函数零点分布的结论,从而直接估计出这个三重和式的最内层和,然后,再由显然方法估计这个三重和式。由此,他证明了存在正数使得(1)式成立,进而推出存在正 整数r使命题{1,r}成立。由于兰恩易只是有效的估计内层和,所以无法有效的给出η和 r 的值。1962年,潘承洞对大筛法与L函数零点分布的结论作了进一步改进,使他得以对三重和式内的二重和式作整体的有效估计,他证明了当η=1/3时,(1)成立,进而推出 命题{1,5}成立。几乎同时M.B.巴邦(Barban)独立地证明过η=1/6 时,(1)式成立。 但并未给出在哥德巴赫问题上的应用。潘承洞的结果是一个出人意料的重大进展。1963 年,他与巴邦独立地证明了当η=3/8时,(1)式成立,并进而证明了命题{1,4}。1965 年,E.邦别里(Bombieri)和A.I.维诺格拉多夫(Vinogradov)各自独立地通过对大筛法 的最佳改进,得以从整体上估计上述三重和式,从而证明了当η=1/2时,(1)成立,这是 邦别里获得菲尔兹奖的主要工作。H.哈伯斯塔姆( Halberstam)在评论邦别里的这一工作时指出:潘承洞的结果是"真正杰出的工作"。 1983年,E.福利(Fouvry)和H.伊万尼斯(Iwaniec)指出:"邦别里-维诺格拉多夫定理是在林尼克,兰恩易,潘承洞,巴邦等人的开创性工作的基础上得到的"。

     1973年,潘承洞提出并证明了一类新的素数分布均值定理,它是邦别里-维诺格 拉多夫定理的重要推广与发展,能容易的解决后者所不能直接克服的困难。利用这一 新的均值定理不仅给出了陈景润定理-命题{1,2}的最简单证明,成为以后研究哥德巴 赫猜想型问题的基础,而且在不少著名解析数论问题中有重要应用,特别是1983年黑 斯-布朗在关于原根的E。阿廷(Artin)猜想的论文中应用它得到了重要结果。1988年 ,H.E.理歇特(Richert)在纪念华罗庚国际数论与分析会议上发表的综述性论文中 ,把邦别里-维诺格拉多夫定理,陈景润定理,以及潘承洞的新均值定理称为这一领域 的三项最重要的结果。

    3 小区间上的素变数三角和估计与小区间上的三素数定理

    1937年,维诺格拉多夫证明了著名的三素数定理:每一充分大的奇数一定是三个素数 的和。 这就基本上解决了1742年哥德巴赫所提出的猜想的一部分:每个大于5的奇数都是三个 素数之和。维诺格拉多夫的主要贡献在于提到了素变数三角和

的非显然估计,其中α为实数,p为素数变数。C.B.哈赛格庐乌(Haselgrove)在 1951年首先考虑了这样的问题:每个充分大的奇数一定是三个几乎相等的素数之和。 他宣布了一个结果但没有证明。精确的说,上述问题可以这样表达:存在正数c<1,使 对每个大奇数N,素变数p1,p2,p3 的不定方程

必有解。其中ε为任意的正数。这就是小区间上的三素数定理。解决这一问题的关键 是估计小区间上的素变数三角和

其中2≤A≤X.维诺格拉多夫曾经给出了三角和(3)的一个非显然估计,他的方法本质上是筛法.但是,他的结论不足以解决这一问题.1959年,潘承洞用分析方法给出(3)式的非 显然估计,再结合维诺格拉多夫的估计,证明了不定方程当C=160/183时有解,且有解数 的渐近公式.虽然在他的证明中有缺陷,但他的方法为以后研究小区间素变数问题的论文经常运用.1988年 起,潘承洞和潘承彪继续发展了他的思想,发表了三篇论文,不仅完 善了1959年的结果, 而且全面完整地提出了用纯分析方法来估计小区间素变数三角和 (3),进而相继证明了当C=91/96,2/3时(2)有解,且有解数的渐近公式,这些结果后来 进一步为贾朝华,展涛所改进.潘承洞在这些理论中提出的思想,方法,及改进圆法应用, 在砑究一些解析数论问题中,看来还有进一步发展的潜力。

    4 哥德巴赫数的例外集

     凡可以表成两个素数之和偶数称为哥德巴赫数.命E(x)表不超过x的非哥德巴赫数的个 数。1975 ,H.L.蒙哥马利(Montgomery)与R.C.沃恩(Vaughan)证明了:存在δ〉0使

此处 与"O"有关的常数依赖于δ。1979年陈景润与潘承洞首次指出δ是可以计算的,并给出 估计δ〉0.01,最近李红泽进一步证明δ〉0.079 。

     5 大筛法及其应用

    1963年 ,潘承洞证明了下面的结果:命k=log/logA+1,此处q为无平方因子.若k≤ ,则对于满足A〈p≤2A及(p,q)=1的所有素数p,除了不超过 个属于模D=pq的例外 L-函数外,当 对p本原时,L(s,Sd)在区域

内不为零。

    这是兰恩易结果的改良,在他原来的结果中需有限制|T|≤log3D ,而这里的T是无限制的。 由这一估计可得下面的应用:命N(p,k)表示模p 的最小k次正非剩余,此处A〈p≤2A。则除了不超过 个例个素数p之外,恒有

其中与"O"有关的常数依赖于 。

     除解析数论外,潘承洞的研究领还涉及其他一些数学分支及其应用。50年代末,在广义解析数论及其在薄壳上的应用,数论在近似分析中的应用等方面;1970年前后在样 条插值及其应用,滤波分析及其应用等方面,均作了一些工作。

     潘承洞在山东大学数学系任教的30多年中,始终在教学第一线,为大学生,研究生开设了10多门课程,如数学分析,高等数学,变实函数论,复变函数论,阶的估计,计 算方法,初等数论,拟保角变换,素数分布,堆垒素数论,哥德巴赫猜想,等等。他 对教学一贯认真负责。他讲解生动,方法灵活,条理清楚,逻辑性强,善于深入浅出 地启发学生去理解和掌握课程的要点和难点,深受学生欢迎。在专心致志于教学,科 研的同时,他还积极地和同事们一起为山东大学数学系和山东大学的建设与发展做出 重要了贡献。

(本文由中科院数学所王元先生撰写,原文发表于《数学学报》1998年第3期。这里的题目和第一段是新加的,文字有个别改动)

 

 
 

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